Contenido
En esta publicación, consideraremos la definición del rango de una matriz, así como los métodos por los cuales se puede encontrar. También analizaremos ejemplos para demostrar la aplicación de la teoría en la práctica.
Determinación del rango de una matriz
Rango de matriz es el rango de su sistema de filas o columnas. Cualquier matriz tiene sus rangos de fila y columna, que son iguales entre sí.
Clasificación del sistema de filas es el número máximo de filas linealmente independientes. El rango del sistema de columnas se determina de manera similar.
Notas:
- El rango de la matriz cero (indicado por el símbolo "θ“) de cualquier tamaño es cero.
- El rango de cualquier vector de fila o vector de columna distinto de cero es igual a uno.
- Si una matriz de cualquier tamaño contiene al menos un elemento que no es igual a cero, entonces su rango no es menor que uno.
- El rango de una matriz no es mayor que su dimensión mínima.
- Las transformaciones elementales realizadas en una matriz no cambian su rango.
Hallar el rango de una matriz
Método de franjas menores
El rango de una matriz es igual al orden máximo de una distinta de cero.
El algoritmo es el siguiente: encontrar los menores desde los órdenes más bajos hasta los más altos. si es menor nth order no es igual a cero, y todos los subsiguientes (n + 1) son iguales a 0, por lo que el rango de la matriz es n.
Ejemplo
Para que quede más claro, tomemos un ejemplo práctico y encontremos el rango de la matriz A a continuación, utilizando el método de limítrofe de menores.
Solución
Estamos tratando con una matriz de 4 × 4, por lo tanto, su rango no puede ser mayor que 4. Además, hay elementos distintos de cero en la matriz, lo que significa que su rango no es menor que uno. Entonces empecemos:
1. Comience a verificar menores de segundo orden. Para empezar, tomamos dos filas de la primera y segunda columna.
Menor es igual a cero.
Por lo tanto, pasamos al siguiente menor (queda la primera columna, y en lugar de la segunda tomamos la tercera).
El menor es 54≠0, por lo que el rango de la matriz es al menos dos.
Nota: Si este menor resultara ser igual a cero, comprobaríamos además las siguientes combinaciones:
Si es necesario, la enumeración se puede continuar de la misma manera con cadenas:
- 1 y 3;
- 1 y 4;
- 2 y 3;
- 2 y 4;
- 3 y 4.
Si todos los menores de segundo orden fueran iguales a cero, entonces el rango de la matriz sería igual a uno.
2. Casi de inmediato logramos encontrar un menor que nos convenga. Así que pasemos a menores de tercer orden.
Al menor encontrado de segundo orden, que dio un resultado distinto de cero, le agregamos una fila y una de las columnas resaltadas en verde (comenzamos desde la segunda).
El menor resultó ser cero.
Por lo tanto, cambiamos la segunda columna por la cuarta. Y en el segundo intento, logramos encontrar un menor que no es igual a cero, lo que significa que el rango de la matriz no puede ser menor que 3.
Nota: si el resultado fuera cero nuevamente, en lugar de la segunda fila, tomaríamos la cuarta más allá y continuaríamos la búsqueda de un menor "bueno".
3. Ahora queda por determinar menores de cuarto orden en base a lo encontrado anteriormente. En este caso, es aquel que coincide con el determinante de la matriz.
Menor es igual a 144≠0. Esto significa que el rango de la matriz A es igual a 4.
Reducción de una matriz a una forma escalonada
El rango de una matriz escalonada es igual al número de sus filas distintas de cero. Es decir, todo lo que necesitamos hacer es llevar la matriz a la forma apropiada, por ejemplo, usando , que, como mencionamos anteriormente, no cambia su rango.
Ejemplo
Encontrar el rango de una matriz B abajo. No tomamos un ejemplo demasiado complejo, porque nuestro objetivo principal es simplemente demostrar la aplicación del método en la práctica.
Solución
1. Primero, reste el doble primero de la segunda línea.
2. Ahora resta la primera fila de la tercera fila, multiplicada por cuatro.
Por lo tanto, obtuvimos una matriz escalonada en la que el número de filas distintas de cero es igual a dos, por lo que su rango también es igual a 2.