Extrayendo la raíz de un número complejo

En esta publicación, veremos cómo puede sacar la raíz de un número complejo y también cómo esto puede ayudar a resolver ecuaciones cuadráticas cuyo discriminante es menor que cero.

Extrayendo la raíz de un número complejo

Raíz cuadrada

Como sabemos, es imposible sacar la raíz de un número real negativo. Pero cuando se trata de números complejos, esta acción se puede realizar. Averigüémoslo.

Digamos que tenemos un número z = -9. For √-9 hay dos raíces:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Comprobemos los resultados obtenidos resolviendo la ecuación z² = -9, sin olvidar que i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ yo² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ yo² = 9 ⋅ (-1) = -9

Así, hemos probado que -3i и 3i son raices √-9.

La raíz de un número negativo generalmente se escribe así:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etc.

Raíz a la potencia de n

Supongamos que nos dan ecuaciones de la forma z = ⁿ√w… Tiene n raíces (z₀, de₁, de₂,…, z_n-1), que se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

| w | es el módulo de un número complejo w;

φ – su argumento

k es un parámetro que toma los valores: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Ecuaciones cuadráticas con raíces complejas

Extraer la raíz de un número negativo cambia la idea habitual de uXNUMXbuXNUMXb. Si el discriminante (D) es menor que cero, entonces no puede haber raíces reales, pero se pueden representar como números complejos.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación x² – 8x + 20 = 0.

Solución

a = 1, b = -8, c = 20

re = segundo² – 4ac = 64-80 = -16

re < 0, pero aún podemos tomar la raíz del discriminante negativo:

√D = √-16 = ±4i

Ahora podemos calcular las raíces:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Por lo tanto, la ecuación x² – 8x + 20 = 0 tiene dos raíces complejas conjugadas:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i