Elevar un número complejo a una potencia natural

En esta publicación, consideraremos cómo se puede elevar un número complejo a una potencia (incluido el uso de la fórmula De Moivre). El material teórico se acompaña de ejemplos para una mejor comprensión.

Elevar un número complejo a una potencia

Primero, recuerda que un número complejo tiene la forma general: z = a + bi (forma algebraica).

Ahora podemos proceder directamente a la solución del problema.

Número cuadrado

Podemos representar el grado como un producto de los mismos factores y luego encontrar su producto (recordando que i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Ejemplo 1:

z=3+5i

z² = (3+5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16 + 30i

También puede utilizar, a saber, el cuadrado de la suma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ un ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nota: De la misma manera, si es necesario, se pueden obtener fórmulas para el cuadrado de la diferencia, el cubo de la suma/diferencia, etc.

enésimo grado

Levanta un numero complejo z en especie n mucho más fácil si se representa en forma trigonométrica.

Recuerde que, en general, la notación de un número se ve así: z = |z| ⋅ (cos φ + yo ⋅ sen φ).

Para la exponenciación, puedes usar Fórmula de De Moivre (llamado así por el matemático inglés Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ pecado(nφ))

La fórmula se obtiene escribiendo en forma trigonométrica (los módulos se multiplican y los argumentos se suman).

ejemplo 2

Levanta un numero complejo z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sen 35°) al octavo grado.

Solución

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sen(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sen 280°).