En esta publicación, consideraremos qué es el método de Gauss, por qué es necesario y cuál es su principio. También demostraremos mediante un ejemplo práctico cómo se puede aplicar el método para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Descripción del método de Gauss
Método de Gauss es el método clásico de eliminación secuencial de variables utilizado para resolver . Lleva el nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Pero antes, recordemos que SLAU puede:
- tener una sola solución;
- tener un número infinito de soluciones;
- ser incompatibles, es decir, no tener soluciones.
Beneficios practicos
El método de Gauss es una excelente manera de resolver un SLAE que incluye más de tres ecuaciones lineales, así como sistemas que no son cuadrados.
Principio del método de Gauss
El método incluye los siguientes pasos:
- recto – la matriz aumentada correspondiente al sistema de ecuaciones, se reduce por encima de las filas a la forma triangular superior (escalonada), es decir, debajo de la diagonal principal debe haber solo elementos iguales a cero.
- Atrás – en la matriz resultante, los elementos por encima de la diagonal principal también se ponen a cero (vista triangular inferior).
Ejemplo de solución SLAE
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.
Solución
1. Para empezar, presentamos la SLAE en forma de matriz ampliada.
2. Ahora nuestra tarea es restablecer todos los elementos debajo de la diagonal principal. Otras acciones dependen de la matriz específica, a continuación describiremos las que se aplican a nuestro caso. Primero, intercambiamos las filas, colocando así sus primeros elementos en orden ascendente.
3. Resta de la segunda fila el doble de la primera, y de la tercera, triplica la primera.
4. Agregue la segunda línea a la tercera línea.
5. Reste la segunda línea de la primera línea y, al mismo tiempo, divida la tercera línea por -10.
6. Se completa la primera etapa. Ahora necesitamos colocar los elementos nulos sobre la diagonal principal. Para hacer esto, reste el tercero multiplicado por 7 de la primera fila y agregue el tercero multiplicado por 5 al segundo.
7. La matriz expandida final se ve así:
8. Corresponde al sistema de ecuaciones:
Respuesta raíz SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.