¿Cuál es el límite de una función?

En esta publicación, consideraremos uno de los conceptos principales del análisis matemático: el límite de una función: su definición, así como varias soluciones con ejemplos prácticos.

Determinar el límite de una función

Límite de función – el valor al que tiende el valor de esta función cuando su argumento tiende al punto límite.

Límite de registro:

• el límite está indicado por el icono Lim;
• abajo se agrega a qué valor tiende el argumento (variable) de la función. Usualmente esto x, pero no necesariamente, por ejemplo:x→1”;
• luego la función en sí se agrega a la derecha, por ejemplo:

  

Por lo tanto, el registro final del límite se ve así (en nuestro caso):

Se lee como “límite de la función cuando x tiende a la unidad”.

x→ 1 – esto significa que "x" toma constantemente valores que se acercan infinitamente a la unidad, pero nunca coincidirán con ella (no se alcanzará).

Límites de decisión

con un numero dado

Resolvamos el límite anterior. Para hacer esto, simplemente sustituya la unidad en la función (porque x→1):

Por lo tanto, para resolver el límite, primero intentamos simplemente sustituir el número dado en la función debajo de él (si x tiende a un número específico).

con infinito

En este caso, el argumento de la función crece infinitamente, es decir, "X" tiende a infinito (∞). Por ejemplo:

If x→∞, entonces la función dada tiende a menos infinito (-∞), porque:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etc

Otro ejemplo más complejo

Para resolver este límite, también, simplemente aumente los valores x y mire el "comportamiento" de la función en este caso.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Por lo tanto, para "X"tendiendo al infinito, la función x² + 3x - 6 crece indefinidamente.

Con incertidumbre (x tiende a infinito)

En este caso, estamos hablando de límites, cuando la función es una fracción, cuyo numerador y denominador son polinomios. Donde "X" tiende al infinito.

Ejemplo: calculemos el límite a continuación.

Solución

Las expresiones tanto en el numerador como en el denominador tienden a infinito. Se puede suponer que en este caso la solución será la siguiente:

Sin embargo, no todo es tan simple. Para resolver el límite necesitamos hacer lo siguiente:

1. Encontrar x a la potencia más alta para el numerador (en nuestro caso, es dos).

2. Del mismo modo, definimos x a la potencia más alta para el denominador (también es igual a dos).

3. Ahora dividimos tanto el numerador como el denominador por x en grado superior. En nuestro caso, en ambos casos, en el segundo, pero si fueran diferentes, deberíamos tomar el grado más alto.

4. En el resultado resultante, todas las fracciones tienden a cero, por lo que la respuesta es 1/2.

Con incertidumbre (x tiende a un número específico)

Tanto el numerador como el denominador son polinomios, sin embargo, "X" tiende a un número específico, no al infinito.

En este caso, cerramos los ojos condicionalmente al hecho de que el denominador es cero.

Ejemplo: Encontremos el límite de la siguiente función.

Solución

1. Primero, sustituyamos el número 1 en la función, a la que "X". Obtenemos la incertidumbre de la forma que estamos considerando.

2. A continuación, descomponemos el numerador y el denominador en factores. Para hacer esto, puede usar las fórmulas de multiplicación abreviadas, si son adecuadas, o.

En nuestro caso, las raíces de la expresión en el numerador (2x² – 5x + 3 = 0) son los números 1 y 1,5. Por lo tanto, se puede representar como: 2(x-1)(x-1,5).

denominador (x-1) es inicialmente simple.

3. Obtenemos un límite tan modificado:

4. La fracción se puede reducir en (x-1):

5. Sólo resta sustituir el número 1 en la expresión obtenida bajo el límite: