Encontrar la matriz inversa

En esta publicación, consideraremos qué es una matriz inversa y también, utilizando un ejemplo práctico, analizaremos cómo se puede encontrar utilizando una fórmula especial y un algoritmo para acciones secuenciales.

Definición de matriz inversa

Primero, recordemos qué son los recíprocos en matemáticas. Digamos que tenemos el número 7. Entonces su inverso será 7^-1 or ¹/₇. Si multiplicas estos números, el resultado será uno, es decir, 7 7^-1 = 1.

Casi lo mismo con las matrices. Marcha atrás tal matriz se llama, multiplicando cuál por la original, obtenemos la identidad. ella esta etiquetada como A^-1.

una · una^-1 =E

Algoritmo para encontrar la matriz inversa

Para encontrar la matriz inversa, debe poder calcular matrices, así como tener las habilidades para realizar ciertas acciones con ellas.

Cabe señalar de inmediato que la inversa solo se puede encontrar para una matriz cuadrada, y esto se hace usando la fórmula a continuación:

|A| – determinante matricial;

A^T_M es la matriz transpuesta de sumas algebraicas.

Nota: si el determinante es cero, entonces la matriz inversa no existe.

Ejemplo

Encontremos para la matriz A a continuación se muestra el reverso de la misma.

Solución

1. Primero, encontremos el determinante de la matriz dada.

2. Ahora hagamos una matriz que tenga las mismas dimensiones que la original:

Necesitamos averiguar qué números deben reemplazar los asteriscos. Comencemos con el elemento superior izquierdo de la matriz. El menor a él se encuentra tachando la fila y la columna en que se encuentra, es decir, en ambos casos en el número uno.

El número que queda después del tachado es el menor requerido, es decir M₁₁ = 8.

De manera similar, encontramos los menores para los elementos restantes de la matriz y obtenemos el siguiente resultado.

3. Definimos la matriz de sumas algebraicas. Cómo calcularlos para cada elemento, lo consideramos por separado.

Por ejemplo, para un elemento a₁₁ La suma algebraica se considera de la siguiente manera:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 8 = 8

4. Realice la transposición de la matriz resultante de sumas algebraicas (es decir, intercambie las columnas y las filas).

5. Solo queda usar la fórmula anterior para encontrar la matriz inversa.

Podemos dejar la respuesta de esta forma, sin dividir los elementos de la matriz por el número 11, ya que en este caso nos salen feos números fraccionarios.

Comprobando el resultado

Para asegurarnos de que obtuvimos la inversa de la matriz original, podemos encontrar su producto, que debe ser igual a la matriz identidad.

Como resultado, obtuvimos la matriz de identidad, lo que significa que hicimos todo bien.