Sistema de ecuaciones algebraicas lineales

En esta publicación, consideraremos la definición de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), cómo se ve, qué tipos hay y también cómo presentarlo en forma de matriz, incluida una extendida.

Definición de un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones algebraicas lineales (o “SLAU” para abreviar) es un sistema que generalmente se ve así:

• m es el número de ecuaciones;
• n es el número de variables.
• x₁, X₂,…, X_n - desconocido;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – coeficientes para incógnitas;
• b₁, b₂,…, b_m – miembros gratuitos.

Índices de coeficientes (a_ij) se forman de la siguiente manera:

• i es el número de la ecuación lineal;
• j es el número de la variable a la que se refiere el coeficiente.

solución SLAU – tales números c₁, C₂,…, C_n , en cuyo marco en lugar de x₁, X₂,…, X_n, todas las ecuaciones del sistema se convertirán en identidades.

Tipos de SLAU

1. Homogéneo – todos los miembros libres del sistema son iguales a cero (b₁ = segundo₂ = … = segundo_m = 0).

   

2. Heterogéneo – si no se cumple la condición anterior.
3. Cuadrada – el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, es decir metro = norte.

   

4. Indeterminado – el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones.

   

5. anulado Hay más ecuaciones que variables.

   

Dependiendo del número de soluciones, SLAE puede ser:

1. Conjunto tiene al menos una solución. Además, si es único, el sistema se llama definido, si hay varias soluciones, se llama indefinido.

   

   La SLAE anterior es conjunta, porque hay al menos una solución: x = 2, y = 3.

2. incompatible El sistema no tiene soluciones.

   

   Los lados derechos de las ecuaciones son iguales, pero los izquierdos no. Por lo tanto, no hay soluciones.

Notación matricial del sistema.

SLAE se puede representar en forma matricial:

HACHA = B

• A es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas:

  

• X – columna de variables:

  

• B – columna de miembros libres:

  

Ejemplo

Representamos el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial:

Usando los formularios anteriores, componemos la matriz principal con coeficientes, columnas con miembros desconocidos y libres.

Registro completo del sistema de ecuaciones dado en forma matricial:

Matriz SLAE extendida

Si a la matriz del sistema A agregue la columna de miembros gratuitos a la derecha B, separando los datos con una barra vertical, se obtiene una matriz extendida de SLAE.

Para el ejemplo anterior, se ve así:

– designación de la matriz ampliada.