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En esta publicación consideraremos la definición y principales propiedades de las líneas medias de un cuadrilátero convexo en cuanto a su punto de intersección, relación con las diagonales, etc.
Nota: En lo que sigue, consideraremos solo una figura convexa.
Determinación de la línea media de un cuadrilátero
El segmento que conecta los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero (es decir, que no los interseca) se llama su línea media.
- EF – línea media que conecta los puntos medios AB и CD; EA=EB, CF=FD.
- GH – línea mediana que separa los puntos medios BC и ANUNCIO; BG=GC, AH=HD.
Propiedades de la línea media de un cuadrilátero
Propiedad 1
Las líneas medias del cuadrilátero se cortan y se bisecan en el punto de intersección.
- EF и GH (líneas medias) se cortan en un punto O;
- EO=DE, GO=OH.
Nota: punto O is centroide (o baricentro) cuadrilátero.
Propiedad 2
El punto de intersección de las líneas medias del cuadrilátero es el punto medio del segmento que conecta los puntos medios de sus diagonales.
- K – el medio de la diagonal AC;
- L – el medio de la diagonal BD;
- KL pasa por un punto O, conectando K и L.
Propiedad 3
Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo llamado Paralelogramo de Varignon.
El centro del paralelogramo así formado y el punto de intersección de sus diagonales es el punto medio de las líneas medias del cuadrilátero original, es decir, su punto de intersección. O.
Nota: El área de un paralelogramo es la mitad del área de un cuadrilátero.
Propiedad 4
Si los ángulos entre las diagonales de un cuadrilátero y su línea media son iguales, entonces las diagonales tienen la misma longitud.
- EF - linea intermedia;
- AC и BD – diagonales;
- ∠ELC = ∠BMF = un, Como consecuencia CA=BD.
Propiedad 5
La línea media de un cuadrilátero es menor o igual a la mitad de la suma de sus lados que no se cortan (siempre que estos lados sean paralelos).
EF – una línea mediana que no se cruza con los lados AD и BC.
En otras palabras, la línea media de un cuadrilátero es igual a la mitad de la suma de los lados que no lo intersecan si y solo si el cuadrilátero dado es un trapezoide. En este caso, los lados considerados son las bases de la figura.
Propiedad 6
Para el vector de línea media de un cuadrilátero arbitrario, se cumple la siguiente igualdad:
