En esta publicación, consideraremos uno de los teoremas clásicos de la geometría afín: el teorema de Ceva, que recibió ese nombre en honor al ingeniero italiano Giovanni Ceva. También analizaremos un ejemplo de resolución del problema para consolidar el material presentado.
Declaración del teorema
triángulo dado abecedario, en el que cada vértice está conectado a un punto en el lado opuesto.
Así, obtenemos tres segmentos (AA ', BB ' и CC '), que se denominan cevianos.
Estos segmentos se intersecan en un punto si y solo si se cumple la siguiente igualdad:
|Y'| |NO'| |CB'El | = |ANTES DE CRISTO '| |CAMBIO'| |AB '|
El teorema también se puede presentar de esta forma (se determina en qué proporción los puntos dividen los lados):
Teorema trigonométrico de Ceva
Nota: todas las esquinas están orientadas.
Ejemplo de un problema
triángulo dado abecedario con puntos A', B ' и C ' en los lados BC, AC и AB, respectivamente. Los vértices del triángulo están conectados a los puntos dados y los segmentos formados pasan por un punto. Al mismo tiempo, los puntos A' и B ' tomada en los puntos medios de los lados opuestos correspondientes. Averigüe en qué proporción el punto C ' divide el lado AB.
Solución
Hagamos un dibujo de acuerdo con las condiciones del problema. Para nuestra comodidad, adoptamos la siguiente notación:
- AB' = B'C = un
- BA' = A'C = b
Solo queda componer la relación de los segmentos de acuerdo con el teorema de Ceva y sustituirla por la notación aceptada:
Después de reducir las fracciones, obtenemos:
Por lo tanto, AC' = C'B, es decir, punto C ' divide el lado AB a la mitad.
Por lo tanto, en nuestro triángulo, los segmentos AA ', BB ' и CC ' son medianas. Habiendo resuelto el problema, demostramos que se cortan en un punto (válido para cualquier triángulo).
Nota: usando el teorema de Ceva, se puede demostrar que en un triángulo en un punto, las bisectrices o alturas también se intersecan.