El pequeño teorema de Fermat

En esta publicación, consideraremos uno de los principales teoremas en la teoría de los números enteros:  El pequeño teorema de Fermatlleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat. También analizaremos un ejemplo de resolución del problema para consolidar el material presentado.

Declaración del teorema

1. inicial

If p es un número primo a es un entero que no es divisible por pluego a^p-1 1 Mayo dividido por p.

Formalmente se escribe así: a^p-1 ≡ 1 (en contra p).

Nota: Un número primo es un número natural que solo es divisible por XNUMX y por sí mismo sin resto.

Por ejemplo:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• número 15 dividido por 5 sin resto.

2. Alternativa

If p es un número primo, a cualquier entero, entonces a^p comparable a a formulario p.

a^p ≡ un (en contra p)

Historial de búsqueda de evidencia

Pierre de Fermat formuló el teorema en 1640, pero él mismo no lo demostró. Más tarde, esto lo hizo Gottfried Wilhelm Leibniz, un filósofo, lógico, matemático, etc. alemán. Se cree que ya tenía la prueba en 1683, aunque nunca se publicó. Es de destacar que Leibniz descubrió el teorema por sí mismo, sin saber que ya había sido formulado antes.

La primera demostración del teorema se publicó en 1736 y pertenece al matemático y mecánico suizo, alemán Leonhard Euler. El pequeño teorema de Fermat es un caso especial del teorema de Euler.

Ejemplo de un problema

Encontrar el resto de un número 2¹² on 12.

Solución

imaginemos un numero 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 es un número primo, por lo tanto, por el pequeño teorema de Fermat obtenemos:

2¹¹ ≡ 2 (en contra 11).

Por lo tanto, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (en contra 11).

Entonces el numero 2¹² dividido por 12 con resto igual a 4.